Hady Ba's weblog

Generalized Quantifiers for Dummies

Posted in Uncategorized by hadyba on octobre 5, 2007

Avertissement: Si vous ne savez pas ce qu’est la différence entre un quantificateur existentiel et un quantificateur universel ni ce à quoi les signes ésotériques de l’image font référence, vous risquez de trouver ce post passablement ennuyeux. Je vais essayer d’être clair mais je ne vous promets pas que vous devriez le lire. Pour les autres, je vais devoir adapter la notation vu la pauvreté du choix de police sur ce blog.

J’écris ce post sur les quantificateurs généralisés parce que, quoique je me considère comme plutôt bon en logique, il y a un an je ne savais absolument rien de la théorie des quantificateurs généralisés (TQG). J’en ignorais même totalement l’existence. Pour autant que je sache, je ne suis pas le seul philosophe d’orientation analytique à être dans ce cas. Cet article pourra donc être utile à certains d’entre nous. En tout cas, je vais essayer de pondre le point de départ que j’aurais voulu trouver quand je commençais à m’intéresser à la TQG.

Commençons par le commencement. L’une des premières choses que nous apprenons en logique, c’est qu’il faut se méfier des langues naturelles. Nous savons bien, nous, que la structure grammaticale des langues masque leur structure logique. Que les langues naturelles sont ambiguës et qu’elles nous mènent à des inférences fausses. Depuis Leibniz au moins, notre but était de créer un langage formulaire dépourvu d’ambiguïté grace auquel nous pourrions mener nos raisonnements et résoudre pacifiquement toutes nos controverses par le calcul. De l’avis général, la logique des prédicats développée au début du siècle dernier par Frege constitue un pas décisif vers la réalisation du programme leibnizien.

Petit rappel: dans cette logique, nous avons:

  • deux quantificateurs: le quantificateur universel (V ici qu’on peut lire: quel que soit) et le quantificateur existentiel (E ici qui se lit: Il existe)

  • des lettre de prédicats qui remplacent des propriétés et sont notés en majuscules (F, G, H… par exemple)

  • des variables et des constantes d’individus notés en minuscules.

  • et des connecteurs: et (& ), ou ( ici OR ), si alors (—->), si et seulement si ()…

Moyennant ce petit lexique de rien du tout et un cerveau qui fonctionne correctement, nous nous faisons fort de formaliser tout énoncé du langage et donc de faciliter les raisonnements de ceux qui nous ferons confiance! De beaux exemples valant mieux qu’un long discours, traduisons donc des énoncés du français en LP.

(a) L’homme est détestable: V x[H(x) —-> D(x)]

(b) Quelques hommes sont intelligents: Ex[H(x) & I(x)]

(c) Les femmes sont plus intelligentes que les hommes: Vx Vy [(F(x)&H(y))—->P(x,y)]

Le lexique me paraît transparent mais donnons le malgré tout: H(x): x est un homme, D(x): x est détestable, I(x): x est intelligent et P(x,y): x est plus intelligent que y.

Quelques remarques rapides. Nous voyons qu’alors que leurs formes grammaticales sont similaires, (Sujet/ Verbe/Complément ou Sujet/Prédicat si vous êtes aristotélicien), la structure logique de (a) et (b) sont très différentes avec un quantificateur existentiel et une conjonction pour (b) et un quantificateur universel et une implication pour (a). Quelques se traduit par le quantificateur existentiel qui signifie au moins un individu ce qui peut dérouter un non logicien qui se dirait que par quelques nous entendons forcément plusieurs. Je pourrais faire d’autres remarques sur les conditions de vérité de l’implication mais pour l’instant évitons! Bien sûr pour le logicien, ces remarques ne sont absolument pas des limites de sa formalisations mais bien des confirmations de ce qu’il disait à savoir que les langues naturelles sont tellement mal foutues qu’elles ont besoin d’être formalisées pour que le locuteur ordinaire comprenne ce qu’il a vraiment dit et même parfois ce qu’il a voulu dire. Alléluia!

Maintenant, intéressons nous à la proposition suivante:

(d) La plupart des femmes sont belles

Devant une vérité aussi lumineuse, le logicien semble perdre ses moyens! En effet, cette proposition est totalement intraduisible en logique des prédicats. Cette impossibilité se manifeste également quand on considère (e) ou (f)

(e) Peu de politiciens sont honnêtes

(f) Plus de la moitié des martiens sont verts

L’on pourrait se dire que c’est parce que nous n’avons pas un quantificateur contrôlant des variables comme le font déjà les quantificateurs existentiel et universel. Pour en avoir le coeur net, introduisons donc un quantificateur Q qui signifierait la plupart. Dans ce cas, on formaliserait (d) en :

(d’) Qx [F(x)—-> B(x)]

Si nous retranscrivons littéralement (d’) en langues naturelles, nous obtenons: Pour la plupart des individus x que nous prenons, si x est une femme alors x est belle. Cette formulation est donc inadéquate puisqu’elle quantifie sur l’univers tout entier alors que la proposition initiale était uniquement concernée par les femmes. Que faire alors?

Pour comprendre pourquoi nous n’y arrivons pas et trouver une formalisation adéquate, réfléchissons de manière intuitive en nous aidant d’ensembles. Si nous considérons (a), cette proposition exprime que l’ensemble des individus mâles est contenu dans l’ensemble des individus détestables. La proposition (b) quant à elle exprime le constat que l’intersection entre l’ensemble des individus mâles et l’ensemble des individus intelligents n’est pas vide. Si à présent nous nous intéressons à (d), cette proposition nous dit que l’ensemble des individus de sexe féminin et qui sont belles contient plus d’individus que celui des individus du même sexe qui ne sont pas belles. Il s’agit donc non pas de comparer des individus mais des ensembles d’individus. Ce que les théoriciens des QG nous montrent, c’est que les quantificateurs existentiels et universels sont des cas extrêmes de quantification en ce qu’ils utilisent soit la totalité de l’univers, soit un seul individu de cet univers. En dehors de ces cas extrêmes, on peut définir autant de quantificateurs que de partitions de l’univers. Étant donné que les quantificateurs sont non pas des opérateurs de liage d’individus mais des opérateurs sur des ensembles, on comprend pourquoi il était impossible de les exprimer dans la logique des prédicats. Cette logique est en effet une logique de premier ordre alors que la quantification sur des ensembles est une opération du second ordre.

Comment faire alors pour formaliser des phrases avec La plupart, peu de etc? Il suffit de voir que l’opérateur Q que nous avions défini est non pas un quantificateur mais un simple déterminant. Ce qui joue le rôle de quantificateur dans cette phrase, c’est tout le groupe nominal. Nous obtenons alors la formalisation suivante:

(d ») [QxF(x)][B(x)]

Ce qui peut se lire littéralement: Pour la plupart des individus x tels que x est une femme, x est belle. Cette formalisation est parfaitement équivalente à notre phrase initiale. Élégant non?

Remarquez que nous retrouvons exactement la forme Syntagme Nominal/Syntagme Verbal si chère aux grammairiens et tellement décriée par les logiciens!

Notons une dernière chose: dans cette formalisation tous les groupes nominaux sont des quantificateurs et ceci est même valable pour les noms propres. Pour le comprendre considérons l’exemple suivant:

(g) Jean est un parisien

La traduction en logique des prédicats des cet énoncé est P(j) mais une autre traduction possible de cet énoncé est la suivante:

(g’) [Jean x] [P(x)]

Dans cette formalisation, [Jean x] n’est pas un nom propre mais un quantificateur qui dénote les familles d’ensembles contenant l’individu Jean. Aussi (g’) ne sera-t-elle vraie que si l’ensemble des parisiens est un membre de cette famille d’ensembles.

J’espère que cette TQG for Dummies sera utile. Le but du jeu n’est pas de faire de mon lecteur un quantificateur de choc mais juste de dire aux logiciens que ça existe et de vous donner envie d’y jeter un coup d’oeil par vous mêmes.

Pour se mettre au point:

Barwise J. & Cooper R, 1981 Generalized Quantifiers and Natural Language in Linguistics & Philosophy 4 pp. 159-219

Lewis, David, 1970, General Semantics, in Synthese 22 pp. 18-67

7 Réponses

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  1. Anonyme said, on février 4, 2008 at 11:08

    Ne pourrait-on pas dans le langage de la théorie des ensembles affirmer que l’ensemble des femmes belles ne s’injecte pas dans l’ensemble des femmes moches ?

  2. Anonyme said, on février 8, 2008 at 4:58

    Hey mais t’as toujours pas compris que cette idée selon laquelle certaines femmes seraient moches est une invention des sociétés de cosmétique? Un peu comme Coca Cola a créé le père Noel!

  3. Anonyme said, on février 10, 2008 at 3:50

    Dommage, je trouvais ma question pas tout à fait hors de propos …

    Niklaus Vonderflu. (qui ne craint la contradiction que lorsqu’elle porte sur l’action…)

  4. Anonyme said, on février 12, 2008 at 5:38

    Désolé de ma réponse désinvolte, c’est l’épuisement qui me rends stupide! Je vais vous faire une réponse sérieuse.

    Si je me souviens bien: une application est injective si et seulement si tout élément de l’ensemble d’arrivée est l’image d’au plus un élément de l’ensemble de départ. Dans ce cas, si je prends comme ensemble de départ l’ensemble des filles belles et comme ensemble d’arrivée, celui des pas belles et si je considère une application qui à chaque fille belle associe une meilleure amie qui est ‘pas belle’ et ce jusqu’à épuisement du stock des ‘pas belle’. Et en supposant que chaque fille n’a qu’une seule meilleure amie. Bien évidemment certaines filles belles resteront sans meilleure amie ce qui ne les gêne pas puisqu’elles sont belles et ont tous les mecs qu’elles veulent!

    Dans ce cas, on peut dire que l’application « être la meilleure amie de » est injective de l’ensemble des filles belles à l’ensemble des pas belles.

  5. Anonyme said, on février 13, 2008 at 11:36

    Tout à fait… et donc de conclure que l’expression « la plupart des » n’a pas besoin d’un opérateur ad hoc puisqu’elle peut se traduire en logique du première ordre en parlant d’injectivité de l’application elle-même ad hoc (i.e. on aurait pu assigner un nombre à toutes les filles et définir une application qui envoie tel nombre sur tel(s) autre(s))qu’on aura bien voulu construire entre deux ensembles bien définis (comme ceux des filles belles et des filles moches).

    Mais vous semblez dire que l’intérêt d’une telle logique (TQG) est de ne pas avoir à quantifier sur l’univers entier, mais permet de se restreindre à celui des femmes par exemple.
    Je dois avouer ne pas apercevoir immédiatement les enjeux d’une telle restriction. Peut-être avez-vous seulement voulu dire que la TQG permettait d’être plus proche des intentions de la langue naturelle, autrement dit que celle-ci ne s’engage en l’occurence pas à l’existence d’autre chose que des femmes comme dans (d), alors qu’un quantificateur universel non-« groupe nominalisé » supposerait d’abord tout un univers avant de s’intéresser à l’un de ses sous-ensembles finis. Mais je ne suis pas sûr qu’il s’agit de cela, et je dois vous avouer que ma logique et un peu rouillée pour vous suivre à l’intuition dans ces enjeux, même si Quine fait actuellement partie de mes livres de chevet.

    Pour revenir au premier problème, je dois avouer aussi ne pas avoir de traduction de « peu de » en logique du premier ordre. Mais je vous invite toutefois à vous demander avec moi à quoi sert de trouver une expression scientifique de « peu de » si cette expression n’intervient pas dans des raisonnements que nous souhaitons absolument pouvoir vérifier syntaxiquement.

    P.S. Merci pour votre réponse à mon précédent commentaire. A bientôt peut-être.

  6. Anonyme said, on février 15, 2008 at 2:07

    Cher Niklaus,

    La TQG permet certes une meilleure formalisation des quantificateurs des langues naturelles, mais elles ont d’abord été introduites pour pallier les limitations des formalisations en théorie des ensembles par exemple.

    Par ailleurs, quand vous parlez d’injectivité, il me semble bien que vous quittez la logique du premier ordre puisque vous êtes dans le méta-langage parlant de la fonction elle même et non dans le calcul appliquant des opérateurs.

    Sur « peu de »: il me semble que si vous bossez sur des ensembles par exemple ou bien en informatique, vous pouvez avoir besoin d’un tel opérateur.

  7. Anonyme said, on février 20, 2008 at 12:50

    Re-bonjour,

    Il ne me semble pas que l’injectivité d’une fonction soit une propriété exprimable dans le méta-langage uniquement :

    en bref :

    Soit l’ensemble des Femmes F

    Soit le prédicat bien défini « est une femme belle » : Bx

    On défini les deux ensemble « Belle » et « non-Belle »

    Pour tout x (x elem Belle si x elem F et Bx)
    Pour tout x (x elem non-Belle si x elem F et non(Bx))

    On défini ensuite des paires ordonnées (a,b) (c,d) de telle sorte que a soit un élément de Belle et b un nombre entier à chaque fois différent ; de même pour c, où c est un élément de non-belle. Bref on numérote les femmes belles et non-belles.

    On défini ensuite deux ensembles « Belle-indexée » et « non-belle-indexée » de telles sorte que ces ensembles contiennent exactement les paires ci-dessus.

    On défini ensuite une fonction arbitraire f de l’ensemble « belle indexée » dans « non-belle indexée » et on affirme ensuite que

    Il existe x,y,z (z elem non-belle-indexée et x elem belle-indexée et y elem belle-indexée et z=f(x) et z=f(y) et x est différent de y) En bref que la fonction des belles dans les non-belles n’est pas injective.

    Il me semble que ça marche même si c’est fastidieux. Il reste naturellement à se demander si nous sommes au plus proche de l’intuition de de « la plupart ».

    Quand à « peu de ». Soit on défini « peu de » à partir d’un pourcentage; soit on le traite avec de la logique floue [http://fr.wikipedia.org/wiki/Logique_floue] que je ne connais pas, ce qui semble être effectivement l’intérêt de son traitement informatisé.

    A bientôt peut-être et merci de vos réponses.


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