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La vérité selon Tarski

Posted in Philosophie by hadyba on décembre 31, 2011

Il y a une ou deux semaines, j’ai fait ce rêve étrange où Hilary Putnam m’admonestait en marmonnant que les jeunes ne lisaient plus Tarski. Dans mon rêve, il marchait devant suivi de mon DR et je leur courrait après en criant « Yes I did read Tarski, I’ve tried anyway » et j’étais profondément mortifié que mon DR garde le silence.

Hilary, ce post est pour toi…

………….

Lorsque dans le Tractatus… (4.024), Wittgenstein note : « Comprendre une proposition, c’est savoir ce qui a lieu quand elle est vraie. (On peut donc la comprendre sans savoir si elle est vraie) », il exprime la place centrale accordée, au moins depuis Frege, à la notion de vérité dans les travaux sur l’analyse du langage, qu’il soit ordinaire ou formel. Le problème, c’est que cette notion de vérité, tout comme la plupart des notions sémantiques n’était à l’époque pas formellement définie. En ce qui concerne la notion de vérité, il reviendra à Tarski d’en donner une caractérisation mathématique précise.

La question: « qu’est-ce que la vérité ? » pourrait sembler relever de la métaphysique plutôt que de la logique ou bien de la philosophie du langage mais si l’on a comme critère de compréhension d’une proposition la capacité à en donner les conditions de vérité, il devient crucial de définir précisément ce que l’on met dans cette notion de vérité. Pour commencer, Tarski pense qu’il faut renoncer à voir la vérité de manière absolue sans circonscrire soigneusement l’univers du discours ; ce qu’il se propose de caractériser, c’est la vérité dans un langage. La procédure de Tarski pour définir la notion sémantique de vérité consiste à prendre en considération un langage-objet L et un métalangage qui contient ce langage objet L. Ce qu’il s’agit de définir, c’est ce que ça signifie pour une proposition du langage-objet L que d’être vrai. Sachant que le métalangage contient tout le langage-objet; son vocabulaire tout comme sa grammaire, la solution adoptée par Tarski consistera à construire dans le métalangage un prédicat qui ne s’appliquerait aux propositions du langage-objet que si ces dernières sont vraies. Tarski montre qu’un tel prédicat du métalangage devrait lui-même satisfaire ce qu’il nomme la convention T. Cette convention pose qu’un prédicat ‘Tr’ appartenant au métalangage est une définition adéquate de la vérité si le système déductif de la métathéorie prouve:

(a) toutes les phrases obtenues à partir de l’expression  »Tr(x) si et seulement si p » avec  »x » qui nomme une proposition quelconque du langage objet et  »p » la traduction de cette phrase dans le métalangage

(b) la phrase  »pour tout x, si Tr(x) alors x appartient au langage objet »

Comment le fait que le prédicat ‘Tr’ satisfasse la convention T nous permet-elle de dire que ce prédicat est une définition adéquate de la vérité? Pour le voir, penchons nous un peu sur les deux conditions de la convention T. La seconde condition, est une condition de clôture qui s’assure que le prédicat ‘Tr’ s’appliquera uniquement à des propositions du langage-objet. Quelle que soit par ailleurs la propriété dont ce prédicat permet de définir l’instanciation sur les objets qu’il prend, la condition (b) nous assure d’ores et déjà que nous nous limiterons strictement à l’extension du langage-objet.

La condition (a) nous dit que le système déductif de la métathéorie doit prouver toutes les phrases obtenues à partir de l’expression  »Tr(x) si et seulement si p ». Le  »si et seulement si p » nous assure que le prédicat Tr n’associe pas seulement à chaque proposition ‘x’ du langage-objet une traduction dans le métalangage mais une traduction dont nous savons dans le métalangage qu’elle est vraie. Seulement, si la condition (a) nous dit que Tr ne prend que des propositions dont la traduction dans le métalangage est vraie, cela veut dire que pour toute proposition x du langage-objet, on a Tr(x) si et seulement si x est vrai. Cette condition est donc suffisante pour nous garantir que le prédicat ‘Tr’ ne s’applique qu’à des propositions vraies du langage-objet. Par ailleurs, étant donné que l’intégralité du langage-objet et de ses règles est contenue dans le métalangage, toutes les propositions du langage-objet sont traduisibles dans le métalangage. En particulier, toutes les propositions vraies de L ont une traduction dans le métalangage. Et si les règles qui prévalent dans le langage-objet sont contenues dans le métalangage, alors, la traduction d’une proposition x telle que x est vraie dans le langage objet nous donnera nécessairement une proposition p vraie dans le métalangage. De ce fait, la condition (a) de la convention T nous garantit bien que le prédicat ‘Tr’ s’appliquera à toutes les phrases vraies de L et à elles seules.

Parlons d’une dernière propriété de la définition de la vérité par Tarski. Le prédicat de vérité tel que défini par Tarski échappe aux antinomies sémantiques du genre du paradoxe du menteur. Pour comprendre comment la démonstration de Tarski échappe au paradoxe du menteur, nommons ‘c‘ la phrase soulignée du paragraphe suivant de ce texte.

                       c n’est pas une phrase vraie.

Étant donnée la manière dont nous avons spécifié ce que le nom ‘c‘ désigne, il semblerait que nous puissions écrire:

                       (a)   »c n’est pas une phrase vraie. » = c

En partant de (a), il semble que nous puissions intuitivement accepter la vérité de (b) :

 (b)  »c n’est pas une phrase vraie. » est vrai si et seulement si c n’est pas une phrase vraie

De (a) et de (b), suit la contradiction suivante:

                       c est une phrase vraie si et seulement si c n’est pas une phrase vraie.

Si la reproduction d’un tel paradoxe est impossible dans le système tarskien, c’est grâce à la soigneuse distinction qu’opère Tarski entre le langage-objet et le métalangage. Nous avons vu que les prédicats susceptibles d’être accepté comme caractérisation formelle de la vérité dans un langage L donné n’appartiennent pas à L mais à un métalangage contenant L. De ce fait, la contradiction ne peut pas être construite dans L.

Tarski s’intéressait aux langages formels. Dans son essai sur la vérité, il affirme que: « La possibilité même d’un usage non contradictoire de l’expression ‘phrase vraie » qui soit en harmonie avec les lois de la logique et l’esprit du langage ordinaire semble être très douteuse, et par conséquent le même doute s’attache à la possibilité de construire une définition correcte de cette expression. » [Tarski 1935/1956] Tarski était donc pour le moins sceptique quant à la possibilité d’utiliser ses propres travaux dans l’analyse de nos langues naturelles. Davidson le fera cependant.

14 Réponses

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  1. aymeric said, on décembre 31, 2011 at 12:55

    Moi aussi Hilary Putnam occupe une partie de mes nuits, mais celle qui précède le sommeil : un de ses livres est sur ma table de nuit. http://www.actu-philosophia.com/spip.php?article341
    (Oui, c’est assez loin de ce pour quoi il est surtout connu…)

  2. hadyba said, on décembre 31, 2011 at 12:56

    C’est bon?

  3. aymeric said, on décembre 31, 2011 at 1:02

    En ce qui me concerne : oui, même très.
    (Mais la lecture est encore en cours.)

  4. hadyba said, on décembre 31, 2011 at 1:12

    Merci. Je pense que je le lirai dans un avenir pas trop lointain. J’aime beaucoup Putnam quoique je ne sois pas super convaincu par son tournant pragmatiste

  5. aymeric said, on décembre 31, 2011 at 1:22

    Oui, c’est aussi ce que dit Phersv à la conclusion de son billet sur Putnam. mais pour quelqu’un comme moi, athée fasciné (avec peut-être une pointe d’envie) par la foi et, par ailleurs, plutôt sensible à Dewey, c’est tout à fait ma tisane.
    (Autre lecture du moment : http://www.lmda.net/din/tit_lmda.php?Id=64719 ; les croisements ne sont pas sans sens.)

  6. hadyba said, on décembre 31, 2011 at 2:43

    Ça a l’air intéressant. Patocka est sur ma liste de lectures depuis quelques années déjà mais je n’ai encore jamais eu l’occasion de lire.

  7. aymeric said, on décembre 31, 2011 at 5:40

    Je trouve que ça l’est, intéressant. Vraiment.
    Pas encore lu de livre de Patocka moi non plus ; avec, également, l’idée de la faire depuis longtemps.
    Mais, alléché par l’ouvrage mentionné ci-dessus, nul doute que le passage à l’acte de lecture est imminent (l’achat ayant déjà été fait).
    ((Ah, et tous mes vœux pour 2012 aussi. J’aimerais assez, j’avoue, qu’on se croise un de ces quatre. Je veux dire dans cette vie réelle où on peut se serrer la main et faire tinter deux godets.))

  8. Elias said, on janvier 1, 2012 at 1:45

    Bonne année 2012!

  9. hadyba said, on janvier 1, 2012 at 1:50

    @Elias & Aymeric: Merci pour vos voeux. Je vous souhaite une excellente année à tous les deux ainsi qu’à tous ceux qui vous sont chers.

    @Aymeric: Oui, il faut absolument qu’on organise ça. Ça devrait être facile, je traine dans le cinquième presque tous les jours.

  10. aymeric said, on janvier 2, 2012 at 2:11

    Sauf que j’ai quitté le cinquième il y a deux ans déjà.
    (Sans partir très loin : quatrième désormais.)
    A bientôt quoiqu’il en soit.

  11. hadyba said, on janvier 2, 2012 at 3:06

    Je ne prétends pas être un spécialiste de ces choses là, mais je ne pense pas qu’il y ait un arrêté municipal interdisant aux transfuges du 5e d’y revenir pour boire un verre avec d’honnêtes travailleurs de cet arrondissement. Je ne crois pas non plus que quelque arrêté municipal interdise à ces dits honnêtes travailleurs de faire un détour par le 4e pour prendre un verre avec de sympathiques PAF par ailleurs transfuges du 5e. Nous devrions donc en toute quiétude pouvoir organiser (par email) une rencontre.

  12. Pierre said, on mars 30, 2012 at 2:11

    Parce que il y a eu une époque où les jeunes lisaient Tarski !!!???

  13. hadyba said, on mars 30, 2012 at 3:01

    Je suis persuadé que dans la folle jeunesse de ce cher Hilary, les jeunes étaient bien plus pervers qu’ils ne le sont de nos jours et qu’ils lisaient Tarski et Gödel en cachette.

  14. Bertin Nguefack said, on janvier 30, 2013 at 9:46

    oui mais dans tout cela, la conception tarskienne me semble suffisamment novatrice et actuelle, dans un environnement à la solde du relativisme et du postmodernisme


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