Hady Ba's weblog

Ruth Barcan Marcus

Posted in Philosophie by hadyba on février 20, 2012

Photo.

Pas vraiment le temps de bloguer mais Ruth Barcan Marcus est décédée hier. C’était l’une des pionnières de la logique modale, ayant créé la logique modale quantifiée et anticipé les travaux de Kripke sur les noms propres. Je me suis toujours demandé si elle n’aurait pas été une super star à la Kripke si elle avait été un homme plutôt qu’une femme. Un jour j’écrirais un post sur elle (à moins que Phersv ne s’en charge!).

Mise à jour de 21h45: Comme prévu, Phersv s’en est chargé et de fort belle manière!

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Une lecture de Montague

Posted in Philosophie by hadyba on décembre 21, 2011

Je sais que ça vous semblera fou mais j’ai vraiment lu Formal Philosophy. Voici ce que j’en ai tiré (LeProgrammeMontagovienDec2011  .pdf) à l’aune de mes propres préoccupations ; une trentaine de pages presque sans aucun symbole logique. Si ça vous intéresse, vous pouvez télécharger le texte. Si vous le lisez, ça m’intéressera vraiment de savoir ce que vous en pensez. Je ne suis vraiment pas susceptible donc, je ne me formaliserai pas si vous me dites que c’est totalement nul (même sans argumenter :-)) et vous serai reconnaissant de votre appréciation quelle qu’elle soit.

[Adleman2] Ce que fît M. Gödel

Posted in Philosophie, Science by hadyba on septembre 26, 2009

godel

« Nous devons savoir et nous saurons. »

David Hilbert

J’ai écrit assez vite le post d’hier d’avant-hier puis une fois à la maison, j’ai réalisé que c’était légèrement arrogant d’accuser d’arrogance un prix Turing sans même argumenter! Je vais donc écrire deux posts pour expliquer pourquoi je ne suis pas convaincu par le parallélisme d’Adleman entre mécanique quantique et logique mathématique. Nous parlerons de Gödel aujourd’hui et de MQ la prochaine fois.

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Comme souvent en science, c’est la faute aux grecs1. En l’occurrence, Euclide avait, dans ses Éléments, reconstruit toute la géométrie de son époque en partant de quelques postulats indémontrables et en démontrant le reste. Parmi ces postulats, il y en avait un, le cinquième, dont on soupçonnait qu’il n’était pas indémontrable. Ce postulat affirmait que:

[Ax.5] Par un point extérieur à une droite ne passe qu’une et une seule droite parallèle.2

Les mathématiciens de la fin du XIXe siècle essayeront de démontrer ce « postulat » par l’absurde. L’idée est de remplacer [Ax.5] par un postulat contradictoire puis de développer le système comme si de rien n’était. Si [Ax.5] est vraiment une vérité du système, nous aboutirons à des contradictions ce qui prouvera la fausseté de la proposition qui a remplacé [Ax.5] et par là même la vérité de [Ax.5]. Il y a deux contradictoires à [Ax.5] que nous nommerons [Ax.5bis] et [Ax.5ter]. Ce sont les propositions suivantes:

[Ax.5bis] Par un point extérieur à une droite passent une infinité de droites parallèles.

[Ax.5ter] Par un point extérieur à une droite ne passe aucune droite parallèle.

Propositions absurdes n’est-ce pas? Sauf que nos géomètres effarés construiront des systèmes géométriques totalement consistant en partant de chacun de ces postulats! Jusque là, les mathématiciens pensaient que leur discipline était un vaste système totalement cohérent dont tous les pans allaient finalement s’imbriquer3. L’idée était qu’en partant d’une poignée de postulats, et en appliquant strictement les règles de démonstration, on révélerait toutes les vérités mathématiques. La cohérence était le maitre-mot et aucune vérité ne pouvait être contradictoire avec une autre parce que le contraire d’une vérité est une fausseté. Or, avec les géométries non-euclidiennes, on avait manifestement des systèmes non contradictoires qui partaient pourtant de prémisses incompatibles. Frege résumait assez bien le désarroi de ses collègues en écrivant:

On ne peut servir deux maitres à la fois; on ne peut servir à la fois le vrai et le faux. Si la géométrie euclidienne est vraie, alors la géométrie non-euclidienne est fausse; et si la géométrie non-euclidienne est vraie, c’est la géométrie euclidienne qui doit être fausse.

Après ce premier moment de choc, les mathématiciens, sous l’impulsion de David Hilbert, redéfiniront leur discipline. Quand on y réfléchit, les mathématiques ne sont pas une science de la nature et n’ont pas à avoir des axiomes conformes au réel ou bien un système unique d’axiomes. L’important, c’est la rigueur des démonstrations et le fait que l’édifice que l’on construit soit cohérent de part en part. Le Programme de Hilbert consistera à asseoir définitivement la légitimité des mathématiques en réécrivant toutes les parties de cette discipline en s’assurant de bien séparer axiomes et théorèmes et en vérifiant que ces derniers étaient rigoureusement démontrés. Pour accomplir ce programme, il fallait:

  1. trouver un langage d’exposition qui permettrait de formaliser toutes les mathématiques

  2. s’assurer que ce langage est consistant i.e. que l’on ne démontrerait pas une chose et son contraire dans ce langage en partant des mêmes axiomes

  3. s’assurer que ce langage est complet i.e. que pour toute proposition vraie de ce langage, il existe une procédure permettant de la démontrer

Je vous épargne les détails mais en 1929 il avait déjà été démontré que l’on pouvait reconstruire toutes les mathématiques en se fondant sur l’arithmétique et que la logique du premier ordre était un langage d’exposition adéquat à l’arithmétique. Il suffisait donc de démontrer la consistance et la complétude de la logique du premier ordre pour que le programme de Hilbert fût accompli. En cette année 1929, Gödel prouvait la consistance de la logique du premier ordre. Il ne restait plus qu’à prouver la complétude de cette logique pour que le pénible chaos causé par l’apparition des géométries non-euclidiennes soit oublié.

En 1931, Gödel trouve une astuce pour démontrer la complétude de la logique du premier ordre. En gros4, son approche consiste à coder dans le langage une formule du métalangage G qui se traduirait: G« La formule G n’est pas démontrable. » puis il montre que G est démontrable dans le langage si et seulement si sa négation l’est également dans ce même langage. Étant donné qu’il avait déjà été prouvé que le langage est consistant, cela veut dire que les outils formels du langage ne permettent pas de démontrer G. Dans ce cas, soit G est faux, soit nous avons construit une formule indécidable. Gödel montre que G est une proposition arithmétique vraie. Cela veut donc dire qu’il y a une proposition dont nous savons qu’elle est vraie mais que nous ne pouvons démontrer. En fait, Gödel montre que dans tout système logique consistant et suffisant pour formaliser l’arithmétique, il y a des propositions indécidables i.e. dont nous savons qu’elles sont vraies mais que nous ne pouvons démontrer dans le système. L’on en conclut que les axiomes de l’arithmétique sont incomplets. Étant donné que dans le programme de Hilbert l’arithmétique devait servir de fondement à toutes les mathématiques, cela signifie que cette idée selon laquelle une fois défini le bon système d’axiomes et les bonnes règles de déduction, nous pouvons déployer tranquillement notre virtuosité mathématique et démontrer tous les théorèmes mathématiques est fallacieuse. Il y aura toujours dans le système des théorèmes dont nous savons qu’ils sont vrais mais que nous ne pourrons démontrer dans le système.

Il est très important de comprendre que Gödel ne montre pas simplement qu’il y a des propositions indécidables mais qu’il y a dans chaque système mathématique des propositions indécidables à l’intérieur de ce système mais dont on peut démontrer la vérité ou la fausseté en sortant du système et en utilisant un formalisme plus puissant. C’est cela qu’utilise Adleman quand il affirme que les mathématiciens ne transfèrent pas leur ignorance à la discipline mais à leur connaissance. Si vous êtes platonicien, comme le sont beaucoup de mathématiciens, vous considérerez qu’il y a là dehors un monde mathématique objectif que nous saisissons grâce aux outils mathématiques que nous développons. Dans ce monde abstrait, la proposition G est soit vraie, soit fausse et si elle est indécidable dans le formalisme que nous utilisons pour faire des maths, c’est là une limitation de nos outils formels plutôt que le reflet d’une propriété du monde mathématique. Il me semble qu’il y a une influence de ce platonisme implicite dans le parallèle que fait Adleman entre MQ et logique mathématique.

Dernière chose, cela devrait aller sans dire mais disons le quand même, Gödel ne montre pas que Dieu existe, que la télépathie et la magie fonctionnent, que nous ne pouvons pas comprendre notre propre cerveau et tutti quanti. Tout ce qu’il a prouvé, c’est qu’un système formel pouvant contenir l’arithmétique n’engendrera pas tous ses théorèmes et sera donc incomplet. Rien de mystique là dedans.

Bon next time nous parlerons de mécanique quantique et vous verrez (j’espère) que je ne suis pas aussi prétentieux que ma désinvolture le laissait penser hier.

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1Ou des Égyptiens si vous préférez Cheikh Anta Diop

2Je viens juste de vérifier dans Les miscellanées de Mr. Schott et il n’a pas listé ce postulat parmi ceux qu’il donne page 47… du coup, je ne fais plus tant confiance que ça à Ben Schott!

3Accessoirement, ils pensaient que la géométrie avait vocation à révéler la structure de l’espace réel et dans le monde tel que nous le connaissons une seule droite parallèle passe par un point extérieur à une droite.

4Mais alors là, vraiment en gros. Le paragraphe qui suit n’est pas très rigoureux et je passe d’énoncés sur la logique à des énoncés sur l’arithmétique sans détailler forcément le lien. Faites-moi confiance ou lisez ce livre. Lisez-le de toute manière: c’est l’une des meilleures présentations du papier de Gödel que je connaisse. Avec un peu de concentration, vous comprendrez tout.

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Pascal Engel sur Benda et autres

Posted in Blogroll, Philosophie by hadyba on août 25, 2009

Quand j’étais undergrad à Dakar, Bachir avait stoppé net une de mes tirades sur la corruption des universitaires sénégalais qui trahissaient le peuple par leur passivité en murmurant pensivement: « Oh tu es bendiste alors! » Puis il nous avait longuement parlé de La trahison des clercs de Julien Benda. Je connaissais bien sûr Benda de nom mais jusque là, je ne l’avais jamais lu. A la sortie, j’ai foncé à la bibliothèque où j’ai pris La trahison des clercs que j’ai dévoré. Depuis lors, je sais que je suis effectivement Bendiste. Je pense que les gens qui ont choisi de consacrer leur vie à la recherche se doivent, non pas de faire de la politique ou de diriger le monde, mais de dire aussi clairement que possible ce qu’ils pensent être la vérité et ce, quelles qu’en soient les conséquences pour eux. Ça a l’air abstrait et naïf dit comme ça mais souvenez-vous de l’incroyable absence de Bendisme de l’élite politico-journalistique US qui a menée à la guerre en Irak et à l’apologie de la torture par la plus grande démocratie du monde!

Si je vous parle de ça, c’est parce que je viens de voir, via Julien, que Pascal Engel a mis en ligne, entre autres, une série de papiers sur Benda. En lisant les papiers de PE, je découvre que Benda avait également écrit un texte contre Bergson. Perso, j’ai définitivement perdu tout respect pour Bergson quand j’ai lu son texte contre la Relativité d’Einstein. En deuxième année de philo, j’étais vraiment disposé à avaler les considérations fumeuses sur l’intuition jusqu’à ce que je tombe sur ce texte qui prétendait sérieusement prouver que la conception du temps de Einstein était fausse. Et puis quoi encore?!!!

Moins surprenant de la part de PE, il y a d’autres papiers sur la vérité, le naturalisme, la logique naturelle… etc… A propos du papier sur la logique naturelle, je soupçonne que je serais plus du coté de McCawley que de PE mais je n’ai pas encore lu le McCawley.

Bonne lecture; comme toujours, les textes de PE sont assez fun.